真有效值RMS如何準(zhǔn)確測(cè)量
RMS即真有效值，是對(duì)交流信號(hào)幅度的基本量度，可以分別從實(shí)用角度和數(shù)學(xué)角度予以定義。
從實(shí)用角度定義是：一個(gè)交流信號(hào)的真有效值等于在同一電阻性負(fù)載上產(chǎn)生同等熱量所需的直流量。例如，1V真有效值交流信號(hào)與1V直流信號(hào)在同一電阻上產(chǎn)生的熱量相同。
從數(shù)學(xué)角度定義是：真有效值定義如下：
真有效值等同于零平均值統(tǒng)計(jì)信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。這包括求信號(hào)的平方，取平均值，然后獲得其平方根。取平均的時(shí)間和信號(hào)的特性相關(guān)，對(duì)于周期信號(hào)，則使用完整周期進(jìn)行平均即可，但是對(duì)于非周期信號(hào)，取平均值的時(shí)間必須足夠長(zhǎng)，以便能在所需的近似最低工作頻率進(jìn)行濾波。
按照RMS的定義，一個(gè)交流信號(hào)的RMS值等于在同一電阻性負(fù)載上產(chǎn)生同等熱量所需的直流量。所以真有效值是從熱量角度定義的，根據(jù)熱量的定義，有以下公式：
所以根據(jù)RMS定義，有以下公式：
消去R值，可以得到
兩個(gè)等式的模型一樣，等效為一個(gè)等式：
交流信號(hào)的幅度值是時(shí)刻變化的，但是我們將時(shí)間t細(xì)分為Δt，由于Δt很小，可以認(rèn)為在Δt時(shí)間內(nèi)交流信號(hào)的幅度值不變化，值為e(i)，并且熱量是可以累積的，所以有：
所以有：
推導(dǎo)得到真有效值的數(shù)學(xué)定義，等效于對(duì)被測(cè)信號(hào)的實(shí)時(shí)采樣值進(jìn)行平方和后求平均，然后開(kāi)方。求平均是一個(gè)將變化信號(hào)趨于穩(wěn)定的運(yùn)算，對(duì)于周期信號(hào)，因?yàn)槠渲芷谧兓?，所以只要?duì)其完整周期進(jìn)行評(píng)價(jià)，其結(jié)果就是一個(gè)穩(wěn)定值，所以平均的時(shí)間t可以取周期信號(hào)的n個(gè)完整周期T。對(duì)于非周期信號(hào)，由于其變化沒(méi)有規(guī)律，所以只能在保證測(cè)量結(jié)果輸出的前提條件下，盡可能長(zhǎng)時(shí)間的進(jìn)行平均。
對(duì)于周期信號(hào)，當(dāng)Δt無(wú)窮小時(shí)，我們可以得到RMS值得積分表達(dá)形式：
理論上，熱轉(zhuǎn)換是最簡(jiǎn)單、最直接的方法，但實(shí)際上，它卻是最難以實(shí)現(xiàn)、成本最高的方法。這種方法涉及到將未知交流信號(hào)的熱值與已知的校準(zhǔn)直流基準(zhǔn)電壓的熱值進(jìn)行比較，測(cè)量框圖如圖1所示?；鶞?zhǔn)電阻R2和信號(hào)電阻R1的等效參數(shù)模型必須是近似完全一致，并且近似純電阻性。S1和S2是兩個(gè)性能完全一樣的熱電轉(zhuǎn)換器件，將R1和R2產(chǎn)生的熱量轉(zhuǎn)換為電形式，熱隔離帶用來(lái)阻斷R1和R2之間的熱傳遞，所以最終A2會(huì)調(diào)整一個(gè)直流輸出值，使基準(zhǔn)電阻R2與信號(hào)電阻R1之間的溫差為零，此時(shí)這兩個(gè)匹配電阻的功耗完全相同。因此，根據(jù)真有效值的基本定義，直流基準(zhǔn)電壓值將等于未知信號(hào)電壓的真有效值。
模型非常簡(jiǎn)單，也非常好理解，但是每個(gè)熱單元都必須含有一個(gè)穩(wěn)定的、低溫度系數(shù)電阻R1和R2，電阻與線(xiàn)性溫度電壓轉(zhuǎn)換器S1和S2發(fā)生熱接觸，并且要保證熱傳遞性能一致。
圖1所示的電路框圖對(duì)器件和系統(tǒng)有著嚴(yán)格的要求，但是通常也具有較小的誤差和寬帶寬的優(yōu)點(diǎn)。但是，熱轉(zhuǎn)換單元R1和 S1、R2和S2具有一定，且固定的時(shí)間常數(shù)，所以對(duì)于過(guò)低頻率的信號(hào)，需要較長(zhǎng)時(shí)間才能穩(wěn)定，并且溫度波動(dòng)會(huì)較大，所以了這種真有效值計(jì)算方案的低頻性能不好。
顯式計(jì)算就是按照真有效值的數(shù)學(xué)定義進(jìn)行每一步運(yùn)算。真有效值除了熱量角度的定義外，還有一個(gè)數(shù)學(xué)定義，包括求信號(hào)的平方、取平均值、獲得其平方根，顯而易見(jiàn)，顯示計(jì)算是利用乘法器和運(yùn)算放大器直接進(jìn)行平方、平均值和平方根計(jì)算。平方可以使用乘法器完成，平均可以使用低通濾波器完成，開(kāi)方可以使用運(yùn)放和乘法器完成。
顯式計(jì)算法框圖如圖2所示，因?yàn)槭沁B續(xù)的模擬測(cè)量，所以選擇性能優(yōu)秀的乘法器和運(yùn)放可以實(shí)現(xiàn)相對(duì)不錯(cuò)的精度和帶寬。但是因?yàn)榻?jīng)過(guò)平方器后的信號(hào)振幅范圍會(huì)變得更大，為保證后級(jí)電路能夠進(jìn)一步處理，必須限制信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍，因此顯式計(jì)算方法的動(dòng)態(tài)范圍有限。例如，如果輸入信號(hào)的動(dòng)態(tài)變化范圍為20dB（1V至10V的輸入），那么平方器輸出信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍將達(dá)到40dB（平方器輸出=1V至100V）。因此這類(lèi)方法如果是單級(jí)運(yùn)算則輸入動(dòng)態(tài)范圍最大約為10:1，則最大可以實(shí)現(xiàn)20dB的動(dòng)態(tài)范圍。
另外一種更好的計(jì)算方案是利用反饋在電路輸入處隱式或間接地進(jìn)行求平方根計(jì)算，如圖3所示。平均值信號(hào)除以輸出的平均值后，將與輸入的真有效值呈線(xiàn)性變化，而非平方關(guān)系。與顯式真有效值電路相比，這種隱式電路明顯擴(kuò)大了輸入的動(dòng)態(tài)范圍。隱式計(jì)算的公式如下：
隱式真有效值計(jì)算與其它方法相比具有器件較少、動(dòng)態(tài)范圍較大、成本通常較低的優(yōu)點(diǎn)。它的缺點(diǎn)是帶寬一般比熱真有效值計(jì)算或顯式計(jì)算法要窄。隱式計(jì)算方案可以使用直接乘法和除法，或者使用一種對(duì)數(shù)-反對(duì)數(shù)電路技術(shù)。
模擬測(cè)量可以連續(xù)進(jìn)行測(cè)量，給出測(cè)量結(jié)果，但是一般帶寬和精度相對(duì)較低，因?yàn)槠涫褂昧说屯V波器進(jìn)行平均運(yùn)算，如果實(shí)現(xiàn)測(cè)量結(jié)果穩(wěn)定，則必須使用極低的截止頻率，而截止頻率低這會(huì)導(dǎo)致測(cè)量速度非常慢。
一種更高精度、更高帶寬、更快速度的測(cè)試方法就是使用數(shù)字方法進(jìn)行測(cè)量。數(shù)字測(cè)量使用前面推導(dǎo)的數(shù)字定義的公式，將模擬信號(hào)離散化，離散過(guò)程就是ADC對(duì)模擬信號(hào)采樣的過(guò)程，如圖4所示示意了一個(gè)3位分辨率的ADC對(duì)正弦信號(hào)離散化的過(guò)程。當(dāng)采樣率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于被測(cè)信號(hào)的頻率時(shí)，即ADC的兩個(gè)采樣結(jié)果之間的時(shí)間間隔Δt非常短，這時(shí)我們可以近似認(rèn)為在Δt時(shí)間內(nèi)被測(cè)信號(hào)的值沒(méi)有變化，就是ADC的采樣值。然后我們利用真有效值的數(shù)學(xué)定義
進(jìn)行運(yùn)算即可得出真有效值。對(duì)于周期信號(hào)，我們可以使用一個(gè)或者多種周期進(jìn)行運(yùn)算，對(duì)于沒(méi)有明顯周期的信號(hào)，我們可以規(guī)定一定時(shí)間計(jì)算一次真有效值。
PA6000功率分析儀使用的就是這種數(shù)字方法實(shí)現(xiàn)真有效值的測(cè)量，測(cè)量周期由同步源決定，具體如何決定將在同步源知識(shí)點(diǎn)講解。PA6000使用了數(shù)字方法測(cè)量，所以可以達(dá)到很高的帶寬和精度，帶寬高達(dá)1MHz，精度高達(dá)0.02%，這種精度和帶寬是模擬測(cè)量無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，同時(shí)最大支持10ms給出一個(gè)測(cè)量結(jié)果的速度也是模擬測(cè)量技術(shù)無(wú)法企及的一個(gè)速度。
常規(guī)的測(cè)量?jī)x器無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量出真有效值的原因是他們一般僅僅針對(duì)工頻設(shè)計(jì)，帶寬不夠無(wú)法滿(mǎn)足實(shí)際的測(cè)試需求，因?yàn)閷?shí)際情況下電壓和電流都可能含有豐富的諧波成分，而這些常規(guī)儀器的帶寬往往不夠，所以無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量到高次諧波的能量，但是高次諧波卻一樣會(huì)導(dǎo)致電路元件發(fā)熱，并且會(huì)導(dǎo)致容性元件急劇發(fā)熱，實(shí)際中絕大多數(shù)電路元器件的極限容量值是由保證元器件不過(guò)熱而可以散發(fā)的熱量所決定的。
例如電纜的容量是由特定的安裝條件和最大的工作溫度所決定的。如果測(cè)量不準(zhǔn)確會(huì)導(dǎo)致電纜的實(shí)際運(yùn)行電流值被低估，因而導(dǎo)致電纜的工作溫度比預(yù)期的溫度要高，結(jié)果是電纜的絕緣下降、過(guò)早損壞甚至引發(fā)火災(zāi)。
其他的一些電力元器件，如熔斷器和斷路器的熱元件，它們的額定電流值是根據(jù)有效值來(lái)制定的，因?yàn)樗鼈兊奶匦院蜕峋o密相關(guān)。這就是誤跳閘的根本原因所在。真實(shí)電流大于所預(yù)期電流，導(dǎo)致斷路器一直工作在過(guò)電流狀態(tài)，長(zhǎng)期工作可能會(huì)引起跳閘。任何由誤跳閘引起的斷電所造成的事故損失都可能是巨大的。
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